No problema 11, verifique as hipóteses do teorema do valor médio para cada função no intervalo . Então ache um valor numérico explícito de no intervalo tal que .
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Prometo que este problema não é difícil, está bom? Mas vamos com calma! Primeiro, sobre o que fala este teorema?
Se temos uma função que é bem definida e contínua em um intervalo fechado , assim como, diferenciável no intervalo aberto , então, para um valor qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Na imagem temos que e . Sabendo então o que diz o teorema, vamos verificar todas as condições para dada.
Passo 2
A função é bem definida para , como nosso intervalo é estabelecido apenas no intervalo , não teremos problemas aqui. Também é possível verificar ponto a ponto fazendo os limites laterais da função para cada ponto do intervalo dado que ela é contínua.
A função será diferenciável se o seguinte limite:
Temos:
Seja um valor finito, e igual se tomado pela direita ou pela esquerda , em todos os pontos do intervalo aberto . Note que o limite é válido para todo valor de , tal que , em adendo é necessário que:
Aqui precisamos tomar um pouco de cuidado, okay? Note que tanto e , causariam problemas de definição em nossa derivada, no entanto, ambos os valores estão fora do intervalo , então está tudo bem!
Passo 3
Agora, lembra da reta tangente que falamos sobre lá no teorema? A relação dada no enunciado:
nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos e .
Passo 4
Utilizando o que achamos lá em cima no Passo 2 para , temos que:
Nós temos também que:
Ou seja:
Isolando , temos:
Resposta
A resposta está no final do Passo 4.