No problema 7, verifique as hipóteses do teorema do valor médio para cada função no intervalo [a, b] . Então ache um valor numérico explícito de c no intervalo (a, b) tal que f(b) - f(a) = (b - c) f'(c) .

f(x) = 2 * x^3, [a, b] = [0,2]

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Prometo que este problema não é difícil, está bom? Mas vamos com calma! Primeiro, sobre o que fala este teorema?

Se temos uma função f que é bem definida e contínua em um intervalo fechado [ a , b ] , assim como, diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , então, para um valor c qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Na imagem temos que A = ( a , f ( a ) ) e B   =   ( b , f ( b ) ) . Sabendo então o que diz o teorema, vamos verificar todas as condições para f ( x ) dada.

Passo 2

A função f é um polinômio de grau 3, portanto ela é bem definida e contínua em todo intervalo (Você pode verificar isso olhando o gráfico de qualquer função polinomial, ou fazendo os limites laterais para todo valor de x dentro do intervalo, mas isso é uma infinidade de valores!!)

A função f será diferenciável se o seguinte limite:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 ± f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

Temos:

f ' ( x )   =   l i m Δ x   → 0 ± 2 ( x + Δ x ) 3 - 2 x 3 Δ x   = l i m Δ x → 0 ± 2 ( x + Δ x ) 2 ( x + Δ x ) - 2 x 3 Δ x   = l i m Δ x → 0 ± 2 ( x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 ) ( x + Δ x ) - 2 x 3 ( x + Δ x + 1 ) ( x + 1 )

f ' ( x )   =   l i m Δ x → 0 ± 2 ( x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 ) - 2 x 3 Δ x = l i m Δ x → 0 ± 6 x 2 + 6 x Δ x + 2 Δ x 2 = 6 x 2

Seja um valor finito, e igual se tomado pela direita ( + ) ou pela esquerda ( - ) , em todos os pontos do intervalo aberto ( a , b ) . Note que o limite é válido para todo valor de x .

Passo 3

Agora, lembra da reta tangente que falamos sobre lá no teorema? A relação dada no enunciado:

f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( c )   →   f ' ( c )   =   f ( b ) - f ( a ) ( b - a )

nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto c , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B .

Passo 4

Utilizando o que achamos lá em cima no Passo 2 para f ' ( x ) , temos que:

f ' ( c )   =   6 c 2

Nós temos também que:

f ( a )   =   f ( 0 )   =   0

f ( b )   =   f ( 2 )   =   2 ( 2 ) 3 = 16

Ou seja:

6 c 2 = 16   -   0 2   -   0   =   16 2   =   8

Isolando c , temos:

c   =   2 3     o u     c = 2 3 3

Resposta

A resposta está no final do Passo 4.