No problema 9, verifique as hipóteses do teorema do valor médio para cada função no intervalo [a, b] . Então ache um valor numérico explícito de c no intervalo (a, b) tal que f(b) - f(a) = (b - c) * f'(c) .

f(x) = (x - 1) / (x + 1), [a, b] = [0,3]

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Prometo que este problema não é difícil, está bom? Mas vamos com calma! Primeiro, sobre o que fala este teorema?

Se temos uma função f que é bem definida e contínua em um intervalo fechado [ a , b ] , assim como, diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , então, para um valor c qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Na imagem temos que A = ( a , f ( a ) ) e B   =   ( b , f ( b ) ) . Sabendo então o que diz o teorema, vamos verificar todas as condições para f ( x ) dada.

Passo 2

A função f é bem definida para x ≠ - 1 , como nosso intervalo estabelece apenas uma pequena seção positiva [ 0,3 ] , não teremos problemas aqui. Também é possível verificar ponto a ponto fazendo os limites laterais da função para cada ponto do intervalo dado que ela é contínua.

A função f será diferenciável se o seguinte limite:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 ± f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

Temos:

f ' ( x )   =   l i m Δ x   → 0 ± ( x + Δ x - 1 x + Δ x + 1 )   -   x - 1 x + 1 Δ x   = ( x + Δ x - 1 ) ( x + 1 ) - ( x - 1 ) ( x + Δ x + 1 ) ( x + Δ x + 1 ) ( x + 1 ) Δ x   = l i m Δ x → 0 ± 2 ( x + Δ x + 1 ) ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 ) 2

Seja um valor finito, e igual se tomado pela direita ( + ) ou pela esquerda ( - ) , em todos os pontos do intervalo aberto ( a , b ) . Note que o limite é válido para todo valor de x , tal que x ≠ - 1 .

Passo 3

Agora, lembra da reta tangente que falamos sobre lá no teorema? A relação dada no enunciado:

f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( c )   →   f ' ( c )   =   f ( b ) - f ( a ) ( b - a )

nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto c , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B .

Passo 4

Utilizando o que achamos lá em cima no Passo 2 para f ' ( x ) , temos que:

f ' ( c )   =   2 ( c + 1 ) 2

Nós temos também que:

f ( a )   =   f ( 0 )   =   0 - 1 0 + 1 = - 1

f ( b )   =   f ( 3 )   = 3 - 1 3 + 1 = 1 2

Ou seja:

2 ( c + 1 ) 2 = 1 2   -   ( - 1 ) 3   -   0   =   3 2 3 = 1 2  

Isolando c , temos:

c   =   1

Resposta

A resposta está no final do Passo 4.