Enunciado

Nos Problemas 1-10, determine os pontos singulares da equação diferencial dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.

x 3 y ' ' + 4 x 2 y ' + 3 y = 0

Passo 1

S u b s t i t u i n d o   y = ∑ n = 0 ∞   c n x n dentro da equação diferencial, temos

y ' ' - x y x = ∑ n = 2 ∞   n ( n - 1 ) c n x n - 2 ⏟ k = n - 2 - ∑ n = 0 ∞   c n x n + 1 ⏟ k = n + 1 = ∑ k = 0 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 x k - ∑ k = 1 ∞   c k

= 2 c 2 + ∑ k = 1 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - c k - 1 x k = 0

Então

c 2 = 0

( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - c k - 1 = 0

E c k + 2 = 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k - 17 k = 1,2 , 3 , …

Passo 2

Escolhendo c 0 = 1   e   c 1 = 0 , encontramos

c 3 = 1 6

c 4 = c 5 = 0

c 6 = 1 180

Passo 3

E assim por diante c 0 = 0   e   c 1 = I , obtemos

c 3 = 0

c 4 = 1 12

c 5 = c 6 = 0

c 7 = 1 504

E assim por diante. Então, as duas soluções

y 1 = 1 + 1 6 x 3 + 1 180 x 6 + ⋯   e   y 2 = x + 1 12 x 4 + 1 504 x 7 + ⋯

Resposta

y 1 = 1 + 1 6 x 3 + 1 180 x 6 + ⋯   e   y 2 = x + 1 12 x 4 + 1 504 x 7 + ⋯

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