Enunciado

Nos Problemas 1-10, determine os pontos singulares da equação diferencial dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.

x 3 - 2 x 2 + 3 x 2 y ' ' + x ( x - 3 ) 2 y ' - ( x + 1 ) y = 0

Passo 1

Substituindo y = ∑ n = 0 ∞   c π x n dentro da equação diferencial, temos

y ' ' + x 2 y = ∑ n = 2 ∞   n ( n - 1 ) c n x n - 2 ⏟ k = n - 2 + ∑ n = 0 ∞   c n x n + 2 ⏟ k = n + 2 = ∑ k = 0 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 x k + ∑ k = 2 ∞   c k - 2 x k

= 2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ k = 2 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 + c k - 2 x k = 0

Então

c 2 = c 3 = 0

E ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 + c k - 2 = 0

Passo 2

Escolhemos c 0 = 1   e   c 1 = 0 , encontramos

c 4 = - 1 12

c 5 = c 6 = c 7 = 0

c 8 = 1 672

Passo 3

E assim por diante. Para c 0 = 0   e   c 1 = 1 obtemos

c 4 = 0

c 5 = - 1 20

c 6 = c 7 = c 9 = 0

Passo 4

E assim por diante. Então as duas soluções são

y 1 = 1 - 1 12 x 4 + 1 672 x 8 - ⋯   a n d   y 2 = x - 1 20 x 5 + 1 1440 x 9 - ⋯

Resposta

y 1 = 1 - 1 12 x 4 + 1 672 x 8 - ⋯   a n d   y 2 = x - 1 20 x 5 + 1 1440 x 9 - ⋯