Nos Problemas 1-10, determine os pontos singulares da equação diferencial dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.

x 2 - 9 2 y ' ' + ( x + 3 ) y ' + 2 y = 0

Passo 1

Substituindo y = ∑ n = 0 ∞   c n x n dentro de uma equação diferencial

y ' ' - 2 x y ' + y = ∑ n = 2 ∞   n ( n - 1 ) c n x λ - 2 ⏟ k = n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞   n c n x n ⏟ k = n + ∑ n = 0 ∞   c 2 x n ⏟ k = n

= ∑ k = 0 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 x k - 2 ∑ k = 1 ∞   k c k x k + ∑ k = 0 ∞   c k x k

= 2 c 2 + c 0 + ∑ k = 1 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - ( 2 k - 1 ) c k x k =

Passo 2

Então

2 c 2 + c 0 = 0

( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - ( 2 k - 1 ) c k = 0

E c 2 = - 1 2 c 0

c k + 2 = 2 k - 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k , k = 1,2 , 3 , …

Passo 3

Escolhemos c 0 = 1   e   c 1 = 0 , encontramos

c 2 = - 1 2

c 3 = c 5 = c 7 = ⋯ = 0

c 4 = - 1 8

c 6 = - 7 336

Passo 4

E assim por diante. Para c 0 = 0   e   c 1 = 1 obtemos

c 2 = c 4 = c 0 = ⋯ = 0

c 3 = 1 6

c 5 = I 24

c 7 = 1 112

Passo 5

E assim por diante. Então as duas soluções são

y 1 = 1 - 1 2 x 2 - 1 8 x 4 - 7 336 x 6 - ⋯   a n d   v 2 = x + 1 6 x 3 + 1 24 x 5 + 1 112 x 7 + ⋯

Resposta

y 1 = 1 - 1 2 x 2 - 1 8 x 4 - 7 336 x 6 - ⋯   a n d   v 2 = x + 1 6 x 3 + 1 24 x 5 + 1 112 x 7 + ⋯