Enunciado

Nos Problemas 1-10, determine os pontos singulares da equação diferencial dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.

x ( x + 3 ) 2 y ' ' - y = 0

Passo 1

Substituindo y = ∑ n = 0 ∞   c n x n dentro da equação diferencial, temos

y ' ' - x y ' + 2 y = ∑ n = 2 ∞   n ( n - 1 ) c n x n - 2 ⏟ k = n - 2 - ∑ n = 1 ∞   n c n x n ⏟ k = n + 2 ∑ n = 0 ∞   c n x n ⏟ k = n

= ∑ k = 0 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 x k - ∑ k = 1 ∞   k c k x k + 2 ∑ k = 0 ∞   c k x k

= 2 c 2 + 2 c 0 + ∑ k = 1 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - ( k - 2 ) c k x k = 0

Passo 2

Então

2 c 2 + 2 c 0 = 0

( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 - ( k - 2 ) c k = 0

E c 2 = - c 0

c k + 2 = k - 2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k , k = 1,2 , 3 , …

Escolhemos c 0 = 1   e   c 1 = 0 , encontramos

c 2 = - 1

c 3 = c 5 = c 7 = ⋯ = 0

c 4 = 0

c 6 = c 8 = 0 10 = ⋯ = 0

Passo 3

E assim por diante. Para c 0 = 0   e   c 1 = 1 obtemos

c 2 = c 4 = c 6 = ⋯ = 0

c 3 = - 1 6

c 5 = - 1 120

Passo 4

E assim por diante. Então as duas soluções são

y 1 = 1 - x 2   e   y 2 = x - 1 6 x 3 - 1 120 x 5 - ⋯

Resposta

y 1 = 1 - x 2   e   y 2 = x - 1 6 x 3 - 1 120 x 5 - ⋯

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