Nos Problemas 1-10, determine os pontos singulares da equação diferencial dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.

(x^3 + 4x)'' - 2x y' + 6y = 0

Passo 1

Substituindo y = ∑ n = 0 ∞   c n x n na equação diferencial, temos

y ' ' + x 2 y ' + x y = ∑ n = 2 ∞   n ( n - 1 ) c n x n - 2 ⏟ k = n - 2 + ∑ n = 1 ∞   n c n x n + 1 ⏟ k = n + 1 + ∑ n = 0 ∞   c n x n + 1 ⏟ k = n + 1

= ∑ k = 0 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 x k + ∑ k = 2 ∞   ( k - 1 ) c k - 1 x k + ∑ k = 1 ∞   c k - 1 x k

= 2 c 2 + ( 6 c 3 + c 0 ) x + ∑ k = 2 ∞   ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 + k c k - 1 x k = 0

Passo 2

Então c 2 = 0

6 c 3 + c 0 = 0

( k + 2 ) ( k + 1 ) c k + 2 + k c k - 1 = 0

E c 3 = - 1 6 c 0

c k + 2 = - k ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k - 1 , k = 2,3 , 4 , …

Passo 3

Escolhemos c 0 = 1   e   c 1 = 0 , encontramos

c 3 = - 1 6

c 4 = c 5 = 0

c 6 = 1 45

Passo 4

E assim por diante. Para c 0 = 0   e   c 1 = 1 obtemos

c 3 = 0

c 4 = - 1 6

c 5 = c 6 = 0

c 7 = 5 252

Passo 5

E assim por diante. Então as duas soluções são

y 1 = 1 - 1 6 x 3 + 1 45 x 6 - ⋯   a n d   y 2 = x - 1 6 x 4 + 5 232 x 7 - ⋯

Resposta

y 1 = 1 - 1 6 x 3 + 1 45 x 6 - ⋯   a n d   y 2 = x - 1 6 x 4 + 5 232 x 7 - ⋯