Enunciado

Nos problemas 1-12, ache uma solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Faaalaa, minha joia rara!! Nesta seção estamos preocupados em resolver equações diferenciais de segunda ordem. Para isso, nós temos um passo a passo bem definido, quase que uma receita de bolo!!

Primeiro passo é supor que a solução tem a seguinte forma e r t , depois aplicamos essa solução na EDO e derivamos. O que vamos encontrar é uma equação de segundo grau, que pode ser resolvida com Bhaskara.

Com as raízes encontradas, a solução para duas raízes diferentes será:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

A solução para uma única raiz:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Passo 2

A EDO do exemplo é:

z ' ' + z ' - z = 0

Supondo uma solução com a forma: e r t .

e r t ' ' + e r t ' - e r t = 0

Derivando em relação a t encontramos:

e r t r 2 + r - 1 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau com Bhaskara.

r 12 = - 1 ± 1 + 4 2

r 1 = - 1 + 5 2               r 2 = - 1 - 5 2

Como temos duas raízes diferentes, a solução tem a seguinte forma:

z t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Portanto, a solução do nosso exemplo é:

z t = c 1 e - 1 + 5 2 t + c 2 e - 1 - 5 2 t

Resposta

z t = c 1 e - 1 + 5 2 t + c 2 e - 1 - 5 2 t