Nos problemas 1-12, ache uma solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Faaalaa, minha joia rara!! Nesta seção estamos preocupados em resolver equações diferenciais de segunda ordem. Para isso, nós temos um passo a passo bem definido, quase que uma receita de bolo!!

Primeiro passo é supor que a solução tem a seguinte forma e r t , depois aplicamos essa solução na EDO e derivamos. O que vamos encontrar é uma equação de segundo grau, que pode ser resolvida com Bhaskara.

Com as raízes encontradas, a solução para duas raízes diferentes será:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

A solução para uma única raiz:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Passo 2

A EDO do exemplo é:

y ' ' - y ' - 2 y = 0

Supondo uma solução com a forma: e r t .

e r t ' ' - e r t ' - 2 e r t = 0

Derivando em relação a t encontramos:

e r t r 2 - r - 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau com Bhaskara.

r 12 = 1 ± 1 + 8 2

r 1 = 2               r 2 = - 1

Como temos duas raízes diferentes, a solução tem a seguinte forma:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Portanto, a solução do nosso exemplo é:

y t = c 1 e 2 t + c 2 e - t

Resposta

y t = c 1 e 2 t + c 2 e - t