Nos problemas 1-12, ache uma solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Faaalaa, minha joia rara!! Nesta seção estamos preocupados em resolver equações diferenciais de segunda ordem. Para isso, nós temos um passo a passo bem definido, quase que uma receita de bolo!!

Primeiro passo é supor que a solução tem a seguinte forma e r t , depois aplicamos essa solução na EDO e derivamos. O que vamos encontrar é uma equação de segundo grau, que pode ser resolvida com Bhaskara.

Com as raízes encontradas, a solução para duas raízes diferentes será:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

A solução para uma única raiz:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Passo 2

A EDO do exemplo é:

4 y ' ' - 4 y ' + y = 0

Supondo uma solução com a forma: e r t .

4 e r t ' ' - 4 e r t ' + e r t = 0

Derivando em relação a t encontramos:

e r t 4 r 2 - 4 r + 1 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau com Bhaskara.

r 12 = 4 ± 16 - 16 12

r = 1 3

Como temos uma única raiz real, a solução tem a seguinte forma:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Portanto, a solução do nosso exemplo é:

y t = c 1 e t / 3 + c 2 t e t / 3

Resposta

y t = c 1 e t / 3 + c 2 t e t / 3