Enunciado

Nos Problemas 1-12, encontre a solução geral do sistema dado.

d x d t = 2 x + 2 y

d y d t = x + 3 y

Passo 1

Olá galera, tudo bem? O exercício nos dá as seguintes funções:

d x d t = 2 x + 2 y

d y d t = x + 3 y

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace do sistema dá

( s + 3 ) L { x } + s L { y } = 1 s

( s - 1 ) L { x } + ( s - 1 ) L { y } = 1 s - 1

De modo a L { y } = 5 s - 1 3 s ( s - 1 ) 2 = - 1 3 1 s + 1 3 1 s - 1 + 4 3 1 ( s - 1 ) 2

E L { x } = 1 - 2 s 3 s ( s - 1 ) 2 = 1 3 1 s - 1 3 1 s - 1 - 1 3 1 ( s - 1 ) 2

Então x = 1 3 - 1 3 e t - 1 3 t e t   e   y = - 1 3 + 1 3 e t + 4 3 t ε t

Resposta

x = 1 3 - 1 3 e t - 1 3 t e t   e   y = - 1 3 + 1 3 e t + 4 3 t ε t

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