Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

1 + x y ' ' + x y ' - y = 0 ;       y 1 = x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

1 + x y ' ' + x y ' - y = 0

y ' ' + x 1 + x y ' - y 1 + x = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = x 1 + x     (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = x ∫ e - ∫ x 1 + x d x x 2 d x

y 2 = x   ∫ e - 1 - x + ln ⁡ 1 + x x 2   d x

y 2 = x ∫ e - 1 e - x   1 + x x 2   d x

y 2 = x ∫ 1 + x e x x 2   d x

y 2 = x ∫ 1 e x x 2   d x + ∫ 1 e x x   d x

y 2 = x - 1 x e - x - ∫ e - x x   d x + ∫ 1 e x x   d x

y 2 = - e - x

Podemos desconsiderar as constantes...

y 2 = e - x

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = e - x

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