Nos problemas 17-22, resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

A única diferença de um problema de valor inicial, é que depois vamos aplicar os valores das variáveis e achar a constante.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução da EDO:

d y d x + 4 y - e - x = 0

y ' + 4 y = e - x

Achando o fator integrante.

I = e ∫ 4 d x

I = e 4 x

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e 4 x y ' + 4 e 4 x y = e - x

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = e 4 x                                 g = y

f ' = 4 e 4 x                                 g = y '

Substituindo:

e 4 x y ' = e - x

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

e 4 x y = ∫ e - x d x

e 4 x y = - e - x + c

y = e - 5 x + c e - 4 x

Precisamos aplicar as condições iniciais e encontrar a constante. y 0 = 4 3

4 3 = e 0 + c e 0

c = 1 3

Sendo assim, nossa solução é:

y = e - 5 x + e - 4 x 3

Resposta

y = e - 5 x + e - 4 x 3