Nos problemas 17-22, resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

A única diferença de um problema de valor inicial, é que depois vamos aplicar os valores das variáveis e achar a constante.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução da EDO:

d y d x - y x = x e x

y ' - y x = x e x

Achando o fator integrante.

I = e - ∫ 1 x d x

I = e - ln ⁡ x

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b .

I = x - 1

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

y ' x - y x 2 = e x

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = x - 1                                 g = y

f ' = - x - 2                                 g = y '

Substituindo:

y x ' = e x

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

y x = ∫ e x d x

y x = e x + c

y = x e x + c x

Precisamos aplicar as condições iniciais e encontrar a constante. y 1 = e - 1

e - 1 = 1 e 1 + 1 c

c = - 1

Sendo assim, nossa solução é:

y = x e x - x

Resposta

y = x e x - x