Nos problemas 17-22, resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

x ' + p t x = q ( t )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I t = e ∫ p ( t ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I t x ' + p t I t x = I t q ( t )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( x I ) d t = I q ( t )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

x I = ∫ I q ( t ) d t

A única diferença de um problema de valor inicial, é que depois vamos aplicar os valores das variáveis e achar a constante.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução da EDO:

t 2 d x d t + 3 t x = t 4 ln ⁡ t + 1

x ' + 3 t x = t 2 ln ⁡ t + 1 t 2

Achando o fator integrante.

I = e ∫ 3 t d t

I = e 3 ln ⁡ t

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b .

I = t 3

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

t 3 x ' + 3 t 2 x = t 5 ln ⁡ t + t 3

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = t 3                                 g = x

f ' = 3 t 2                                 g = x '

Substituindo:

t 3 x ' = t 5 ln ⁡ t + t 3

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

t 3 x = ∫ t 5 ln ⁡ t + t 3 d t

Aplicando integração por partes.

t 3 x = t 6 6 ln ⁡ t - ∫ t 5 6 d t + t 4 4 + c

t 3 x = t 6 6 ln ⁡ t - t 6 36 + t 4 4 + c

x = t 3 6 ln ⁡ t - t 3 36 + t 4 + c t 3

Precisamos aplicar as condições iniciais e encontrar a constante. x 1 = 0

0 = ln ⁡ 1 6 - 1 36 + 1 4 + c

c = - 2 9

Sendo assim, nossa solução é:

x = t 3 6 ln ⁡ t - t 3 36 + t 4 - 2 9 t 3

Resposta

x = t 3 6 ln ⁡ t - t 3 36 + t 4 - 2 9 t 3