Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Monte as integrais para resolver y(θ) por meio do método de separação de variáveis.

y ² + 1 y   d y   =   θ   s i n   θ d θ

∫ y ² + 1 y d y = ∫ θ s i n   θ   d θ

Resolva a integral ∫ y ² + 1 y d y por meio de integração básica.

∫ y ² + 1 y   d y

∫ y   +   1 y   d y

∫ y   +   1 y   d y

1 2 y ² + l n | y |

Passo 2

Resolva a integral ∫θsin⁡θ dθ por meio de substituição uv.

∫ θ   s i n   θ   d θ

u   =   θ

d u   =   d θ

d v   =   s i n   θ   d θ

v   =   -   c o s   θ

-   θ   c o s   θ   +   ∫   c o s   θ   d θ

∫ θ   s i n   θ   d θ   =   -   θ c o s   θ   +   s i n   θ   +   C

Equacione as duas soluções e substitua o IVP nas equações e resolva para C.

1 2 y ² + l n   | y |   =   - θ   c o s   θ   +   s i n   θ   +   C

1 2 ( 1 )   +   l n   | 1 |   =   -   π c o s   π +   s i n   π   +   C

1 2 +   =   - π ( - 1 )   +   0   +   C

1 2 - π =   C

Equacione as duas soluções e substitua o IVP nas equações e resolva para C.

1 2 y ²   +   l n   | y |   =   -   θ   c o s   θ   +   s i n   θ   +   1 2   -   π

Resposta

1 2 y ²   +   l n   | y |   =   -   θ   c o s   θ   +   s i n   θ   +   1 2   -   π