Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Monte as integrais para resolver y(x) por meio do método de separação de variáveis.

d y 1 + y ²   =   t a n   x   d x

∫ 1 1 + y ² d y   =   ∫ t a n   x   d x

Resolva a integral em relação a y por meio de u-substituição.

∫ 1 1 + y ² d y

u   =   t a n   θ

d u   =   s e c ² θ   d θ

∫ 1 1 + t a n ² θ s e c ²   θ   d θ

∫ s e c ² θ s e c ² θ

θ   =   t a n ⁻ 1   y

∫ 1 1 + y ² d y   =   t a n   ⁻ ¹   y

Passo 2

Resolva a integral em relação a x por meio de integração básica.

∫ t a n   x   d x   =   ∫ s i n   x c o s   x d x

= c o s   x   =   t ;   - s i n   x d   =   d t  

=   -   ∫ d t t

= - l n   | t |

=   -   l n   | c o s   x |

Passo 3

Equacione as duas soluções e substitua o IVP nas equações e resolva para C.

t a n   ⁻ ¹   y   =   - l n | c o s   x |   +   C

t a n ⁻ ¹ 3   =   - l n | c o s   0 |   +   C

t a n ⁻ ¹ 3   =   - l n | 1 |   +   C

t a n ⁻ ¹ 3   =   C

C   =   π 3

Passo 4

Resolva a solução particular do IVP substituindo no valor de C.

t a n ⁻ ¹   y   =   - l n   | c o s   x |   +   C

y ( x )   =   t a n ( - l n | c o s   x |   +   C )

y ( x )   =   t a n ( - l n | c o |   + π 3 )

Resposta

y ( x )   =   t a n ( - l n | c o |   + π 3 )