Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Monte as integrais para resolver y(x) por meio do método de separação de variáveis.

y   +   1   d y   =   4 x ² - x - 2 x ² ( x + 1 )   d x

∫ y + 1   d y   =   ∫ 4 x ² - x - 2 x ² ( x + 1 )   d x

Resolva a integral ∫y+1 dy por meio de integração básica.

∫ y + 1   d y

∫ y + 1   d y   =   1 2 y ² + y

Passo 2

Simplifique a integral

∫ 4 x ² - x - 2 x ² ( x + 1 ) d x

∫ 4 z ² - x - 2 x ² ( x + 1 ) d x

∫ 4 x ² - x - 2 - 3 + 3 x ² ( x + 1 ) d x

∫ 4 x ² - x - 5 + 3 x ² ( x + 1 ) d x

∫ ( 4 x - 5 ) ( x + 1 ) + 3 x ² ( x + 1 ) d x

∫ ( 4 x - 5 ) ( x + 1 ) x ² ( x + 1 ) d x   +   ∫ 3 x ² ( x + 1 ) d x

∫ ( 4 x - 5 ) x ² d x   +   ∫ 3 x ² ( x + 1 ) d x

Use a decomposição em frações parciais para simplificar a integral. Em seguida, resolva por meio de integração básica.

∫ 3 x ² ( x + 1 ) d x

1 x ² ( x + 1 )   =   A x + B x ² +   C x + 1

1   =   A ( x ² + x )   +   B ( x + 1 )   +   C x ²

A x   +   B x   =   0

A   +   B   = 0

A x ²   +   C x ²   =   0

A + C   =   0

B   =   1

A   =   - 1

C   =   1

3 ∫ ( 1 x ² + 1 x + 1 - 1 x ) d x

3 ( l n ( x + 1 ) - l n ( x )   -   1 x )

3 l n ( x + 1 )   -   3 l n ( x )   -   3 x   +   C

Passo 3

Resolva a integral ∫ ( 4 x - 5 ) x ² d x por meio de integração básica.

∫ ( 4 x - 5 ) x ² d x

4 ∫ 1 x - 5 1 x ² d x

5 l n | x |   +   5 x   +   C

Passo 4

Adicione ambas as partes da integral ∫ 4 x ² - x - 2 x ² ( x + 1 ) d x para formar uma solução para a integral original. Em seguida, simplifique o resultado.

∫ ( 4 x - 5 ) x ² d x   +   ∫ 3 x ² ( x + 1 ) d x   =   3 l n ( x + 1 )   -   l n ( x )   -   3 x + 4 l n | x |   +   5 x +   C    

= 3 l n ( x + 1 )   -   3 l n ( x )   +   4 l n | x |   +   2 x + C

= l n | ( x + 1 ) | ³   -   l n | x ³ |   +   l n | x ⁴ |   +   2 x + C

= l n | x ⁴ ( x + 1 ) ³ x ³ | + 2 x + C

= l n | x ( x + 1 ) ³ | + 2 x + C

Equacione as duas soluções e substitua o IVP nas equações e resolva para C.

1 2 y ² + y   =   l n | x ( x + 1 ) ³ |   +   2 x + C

y ( 1 )   =   1

1 2 ( 1 ) + 1   =   l n | ( 1 ) ( 1 + 1 ) ³ |   +   2 1 + C

3 2 = l n | 8 |   +   2   +   C

C   =   l n | 1 8 |   -   1 2

Resolva a solução particular do IVP substituindo no valor de C. Alguma simplificação pode ser feita, mas a solução não pode ser escrita em termos de y(x), então fica como está.

1 2 t ² + y   =   l n | x ( x + 1 ) ³ |   +   2 x + l n | 1 8 | - 1 2

1 2 y ² + y = l n | x ( x + 1 ) ³ 8 | + 2 x - 1 2

Resposta

1 2 y ² + y = l n | x ( x + 1 ) ³ 8 | + 2 x - 1 2