Nos problemas 19-21, resolva o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais.

Depois que fizermos isso, basta aplicarmos os valores de x e y inicial, e resolver o sistema de constantes que vamos encontrar. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

                                      d x d t = 2 x + y - e 2 t                 x 0 = 1

                                      d y d t = x + 2 y                 y 0 = - 1

E as equações podem ser reescritas como:

                                    D - 2 x - y = - e 2 t                   ( 1 )

                                    - x + D - 2 y = 0                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D - 2 ) e somando as duas eliminamos o y .

D - 2 2 x - x = ( D - 2 ) - e 2 t

D 2 - 4 D + 3 x = - 2 e 2 t + 2 e 2 t

D 2 - 4 D + 3 x = 0

A equação acima é equivalente a:

x ' ' - 4 x ' + 3 x = 0

Achando as raízes por Bhaskara, encontramos a seguinte solução:

x t = c 1 e t + c 2 e 3 t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos y .

D - 2 x - y = - e 2 t

y = x ' - 2 x + e 2 t

Substituindo x , temos:

y = c 1 e t + c 2 e 3 t ' - 2 c 1 e t + c 2 e 3 t + e 2 t

y t = - c 1 e t + c 2 e 3 t + e 2 t

Passo 4

Precisamos encontrar a solução para os valores iniciais, aplicando x 0 = 1 na solução de x .

x t = c 1 e t + c 2 e 3 t

1 = c 1 + c 2

Aplicando y 0 = - 1 na solução de y .

y t = - 2 c 1 e 2 t - c 2 e 3 t

- 1 = - 2 c 1 - c 2

Resolvendo as duas equações, achamos que c 1 = 3 / 2 e c 2 = - 1 / 2 .

Sendo assim, as soluções para os valores iniciais são:

x t = 3 2 e t - 1 2 e 3 t

y t = - 3 2 e t - 1 2 e 3 t + e 2 t

Resposta

x t = 3 2 e t - 1 2 e 3 t

y t = - 3 2 e t - 1 2 e 3 t + e 2 t