Nos problemas 19-21, resolva o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais.

Depois que fizermos isso, basta aplicarmos os valores de x e y inicial, e resolver o sistema de constantes que vamos encontrar. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

                                      d 2 x d t 2 = y                 x 0 = 3       ,       x ' 0 = 1

                                      d 2 y d t 2 = x                 y 0 = 1         ,         y ' 0 = - 1

E as equações podem ser reescritas como:

                                    D 2 x - y = 0                   ( 1 )

                                    - x + D 2 y = 0                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por D 2 e somando as duas eliminamos o y .

D 4 x - x = 0

A equação acima é equivalente a:

x ( 4 ) - x = 0

Sua equação auxiliar é a seguinte:

r 4 - 1 = 0

Fatorando a equação encontramos:

r - 1 r + 1 r 2 + 1 = 0

Então, suas raízes são as seguintes: r 1 = - 1 , r 2 = 1 e r 34 = ± i . Sendo sua solução:

x t = c 1 e - t + c 2 e t + c 3 cos ⁡ t + c 4 s e n   t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos y .

d 2 x d t 2 = y

y = ( c 1 e - t + c 2 e t + c 3 cos ⁡ t + c 4 s e n   t ) ' '

y t = c 1 e - t + c 2 e t - c 3 cos ⁡ t - c 4 s e n   t

Passo 4

Precisamos encontrar a solução para os valores iniciais, aplicando x 0 = 3 na solução de x .

x t = c 1 e - t + c 2 e t + c 3 cos ⁡ t + c 4 s e n   t

3 = c 1 + c 2 + c 3

Aplicando x ' 0 = 1 :

x ' t = - c 1 e - t + c 2 e t - c 3 s e n   t + c 4 cos ⁡ t

1 = - c 1 + c 2 + c 4

Aplicando y 0 = 1 na solução de y .

y t = c 1 e - t + c 2 e t - c 3 cos ⁡ t - c 4 s e n   t

1 = c 1 + c 2 - c 3

Aplicando y ' 0 = - 1 :

y ' t = - c 1 e - t + c 2 e t + c 3 s e n   t - c 4 cos ⁡ t

- 1 = - c 1 + c 2 - c 4

Resolvendo o sistema de equações, achamos os seguintes valores c 1 = 1 , c 2 = 1 , c 3 = 1 e c 4 = 1 .

Sendo assim, as soluções para os valores iniciais são:

x t = e - t + e t + cos ⁡ t + s e n   t

y t = e - t + e t - cos ⁡ t - s e n   t

Resposta

x t = e - t + e t + cos ⁡ t + s e n   t

y t = e - t + e t - cos ⁡ t - s e n   t