Nos problemas 19-21, resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!
Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.
Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais.
Depois que fizermos isso, basta aplicarmos os valores de e inicial, e resolver o sistema de constantes que vamos encontrar. Vamos lá!!
Passo 2
As equações que o enunciado nos deu são:
E as equações podem ser reescritas como:
Multiplicando a equação (1) por e somando as duas eliminamos o .
A equação acima é equivalente a:
Sua equação auxiliar é a seguinte:
Fatorando a equação encontramos:
Então, suas raízes são as seguintes: , e . Sendo sua solução:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos .
Passo 4
Precisamos encontrar a solução para os valores iniciais, aplicando na solução de .
Aplicando :
Aplicando na solução de .
Aplicando :
Resolvendo o sistema de equações, achamos os seguintes valores , , e .
Sendo assim, as soluções para os valores iniciais são: