Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

x ' = x - y

y ' = y - 4 x

E podem ser reescritas como:

                            D - 1 x + y = 0               ( 1 )

                          D - 1 y + 4 x = 0               ( 2 )

Multiplicando a primeira equação por ( D - 1 ) .

                          D - 1 2 x + D - 1 y = 0               ( 3 )

Subtraindo a equação (3) pela (2) encontramos.

D - 1 2 x - 4 x = 0

D 2 - 2 D + 1 x - 4 x = 0

D 2 - 2 D - 3 x = 0

A equação acima é equivalente a:

x ' ' - 2 x ' - 3 x = 0

Sendo assim, usando Bhaskara encontramos as raízes r 1 = - 1 e r 2 = 3 , e a solução é:

x t = c 1 e - t + c 2 e 3 t

Achando y ( t ) com equação (1).

y = ( 1 - D ) c 1 e - t + c 2 e 3 t

y ( t ) = 2 c 1 e - t - 2 c 2 e 3 t

Resposta

x t = c 1 e - t + c 2 e 3 t

y ( t ) = 2 c 1 e - t - 2 c 2 e 3 t