Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

x ' ' + 5 x - 4 y = 0

- x + y ' ' + 2 y = 0

E podem ser reescritas como:

                                    D 2 + 5 x - 4 y = 0                   ( 1 )

                                      - x + ( D 2 + 2 ) y = 0                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D 2 + 2 ) e a (2) por 4 , e somando as duas encontramos.

( D 2 + 2 ) D 2 + 5 x - 4 x = 0

D 4 + 7 D 2 + 10 - 4 x = 0

D 4 + 7 D 2 + 6 x = 0

Fatorando.

D 2 + 1 D 2 + 6 x = 0

Então, temos duas raízes complexas e a solução de x é:

x t = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 s e n   6 t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos y .

D 2 + 5 x - 4 y = 0

4 y = x ' ' + 5 x

Substituindo o x .

4 y = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 s e n   6 t ' ' + 5 c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 s e n   6 t

4 y = - c 1 cos ⁡ t - c 2 s e n   t - 6 c 3 cos ⁡ 6 t - 6 c 4 s e n   6 t + 5 c 1 cos ⁡ t + 5 c 2 s e n   t + 5 c 3 cos ⁡ 6 t + 5 c 4 cos ⁡ 6 t

y ( t ) = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t - c 3 4 cos ⁡ 6 t - c 4 4 s e n   6 t

Resposta

x t = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 s e n   6 t

y ( t ) = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t - c 3 4 cos ⁡ 6 t - c 4 4 s e n   6 t