Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

                                  D 2 u + D v = 2                   ( 1 )

                                  4 u + D v = 6                   ( 2 )

Subtraindo a equação (1) pela equação (2).

D 2 u - 4 u = - 4

A ultima equação é equivalente a:

u ' ' - 4 u = - 4

E a solução da parte homogênea se encontra pelas raízes

r 2 - 4 = 0

r = ± 2

Portanto, a solução para a parte homogênea de u é:

u h t = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

Para encontrarmos a solução particular de u , vamos assumir que a solução tem a forma:

u p t = A

Substituindo na EDO que encontramos para u , achamos o valor de A = 1 .

E a solução geral de u é:

u t = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t + 1

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrarmos v .

4 u + D v = 6

D v = 6 - 4 u

Substituindo u na equação:

D v = 6 - 4 c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t + 1

Passando a derivada para o outro lado como uma integral:

v t = ∫ 6 - 4 c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t + 1 d t

v t = 6 t - 2 c 1 e 2 t + 2 c 2 e - 2 t + t + d 1

v t = 7 t - 2 c 1 e 2 t + 2 c 2 e - 2 t + d 1

Resposta

u t = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t + 1

v t = 7 t - 2 c 1 e 2 t + 2 c 2 e - 2 t + d 1