Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

d x d t + y = t 2

- x + d y d t = 1

E podem ser reescritas como:

                                    D x + y = t 2                   ( 1 )

                                        - x + D y = 1                         ( 2 )

Multiplicando a equação (2) por D e somando com a (1), encontramos:

D 2 + 1 y = t 2 + D 1

( D 2 + 1 ) y = t 2

E a equação acima, é equivalente a:

y ' ' + y = t 2

Para a parte homogênea da EDO.

r 2 + 1 = 0

r = ± i

E a solução da parte homogênea fica:

y h t = c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

Para a parte particular da EDO, assumimos uma solução com a forma:

y p t = A t 2 + B t + C

Substituindo na EDO, e igualando os coeficientes, temos os seguintes valores A = 1 , B = 0 e C = - 2 . Então, a solução geral para y é:

y t = t 2 - 2 + c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrarmos x .

- x + D y = 1

x = 1 - y '

Substituindo o y .

x = 1 - ( t 2 - 2 + c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t ) '

x t = 1 - 2 t + c 1 cos ⁡ t - c 2 s e n   t

Resposta

y t = t 2 - 2 + c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

x t = 1 - 2 t + c 1 cos ⁡ t - c 2 s e n   t