Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

d x d t = x - 4 y

d y d t = x + y

E podem ser reescritas como:

                                    D - 1 x + 4 y = 0                   ( 1 )

                                        - x + ( D - 1 ) y = 0                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D - 1 ) e somando com a segunda encontramos:

4 y + D - 1 2 y = 0

A ultima equação é equivalente a:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

Encontrando a raiz da EDO:

r 2 - 2 r + 5 = 0

Usando Bhaskara encontramos a seguinte raiz r = 1 ± 2 i . Então, a solução da EDO é:

y t = e t ( c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t )

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrarmos x .

- x + D - 1 y = 0

x = d y d t - y

Substituindo o y .

x = e t c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t ' - e t ( c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t )

x = c 1 + 2 c 2 e t cos ⁡ t + - 2 c 1 + c 2 e t s e n   2 t - c 1 e t cos ⁡ 2 t - c 2 e t s e n   2 t

x t = 2 c 2 e t cos ⁡ 2 t - 2 c 1 e t s e n   2 t

Resposta

y t = e t ( c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t )

x t = 2 c 2 e t cos ⁡ 2 t - 2 c 1 e t s e n   2 t