Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

                            D + 1 u - ( D + 1 ) v = e t             ( 1 )

                      ( D - 1 ) u + 2 D + 1 v = 5               ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( 2 D + 1 ) e a equação (2) por ( D + 1 ) .

( 2 D + 1 ) D + 1 u - ( 2 D + 1 ) ( D + 1 ) v = ( 2 D + 1 ) e t

( D + 1 ) ( D - 1 ) u + ( D + 1 ) 2 D + 1 v = ( D + 1 ) 5

Organizando as equações.

                    2 D 2 + 3 D + 1 u - 2 D + 1 D + 1 v = 2 e t + e t               ( 3 )

                    D 2 - 1 u + 2 D + 1 D + 1 v = 5               ( 4 )

Somando as equações (3) e (4) encontramos.

3 D 2 + 3 D u = 3 e t + 5

Essa última equação é equivalente a:

3 u ' ' + 3 u ' = 3 e t + 5

E lembra que eu disse no passo 1?? Aqui temos uma EDO de coeficientes indeterminados.

Vamos achar a solução da parte homogênea.

3 r 2 + 3 r = 0

r 3 r + 3 = 0

Sendo assim, temos duas raízes r 1 = 0 e r 2 = - 1 , e a solução tem a seguinte forma:

u h t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Ficando no exemplo:

u h t = c 1 e 0 + c 2 e - t

u h t = c 1 + c 2 e - t

Para a parte particular da EDO, vamos supor uma solução com a seguinte forma:

u p t = A e t + B t

Aplicando na EDO, encontramos os seguintes valores para A = 1 / 2 e B = 5 / 3 .

Então, a solução geral para u é:

u t = c 1 + c 2 e - t + 1 2 e t + 5 3 t

Passo 3

Agora, para encontrarmos v ( t ) temos que relembrar nosso sistema de equações inicial

                            D + 1 u - ( D + 1 ) v = e t             ( 1 )

                      ( D - 1 ) u + 2 D + 1 v = 5               ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por 2 e somando com a equação (2), encontramos:

2 D + 2 + D - 1 u - v = 2 e t + 5

                                      v = 3 D + 1 u - 2 e t - 5                           ( 5 )

Encontrando D u antes de substituir na solução de v .

D u = D c 1 + c 2 e - t + 1 2 e t + 5 3 t

D u = - c 2 e - t + 1 2 e t + 5 3

Substituindo na equação (5)

v t = - 3 c 2 e - t + 3 2 e t + 5 + c 2 e - t + 1 2 e t + 5 3 t - 2 e t - 5

v t = c 1 - 2 c 2 e - t + 5 3 t

Resposta

u t = c 1 + c 2 e - t + 1 2 e t + 5 3 t

v t = c 1 - 2 c 2 e - t + 5 3 t