Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a .
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!
Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.
Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!
Passo 2
As equações que o enunciado nos deu são:
E podem ser reescritas como:
Multiplicando a equação (1) por e a (2) por , e somando as eliminamos o .
Então, para a parte homogênea temos 3 raízes reais , e :
Para a parte homogênea, vamos assumir a solução com a seguinte forma:
Substituindo na EDO e igualando os coeficientes, achamos os seguintes valores , e . Portanto, a solução geral para é:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos .
Então, aqui temos mais uma EDO de coeficiente indeterminados.
Para a parte homogênea, a raiz é encontrada com e as raízes são e . E a solução da parte homogênea fica:
Para a solução particular, assumimos uma solução com a forma:
Aplicando na EDO e igualando os coeficientes, achamos os seguintes valores.
,, ,
E e são arbitrários. Sendo assim, a solução para fica: