Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

x ' ' + y ' ' - x ' = 2 t

x ' ' + y ' - x + y = - 1

E podem ser reescritas como:

                                    D 2 - D x + D 2 y = 2 t                   ( 1 )

                                      D 2 - 1 x + D + 1 y = - 1                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D + 1 ) e a (2) por - D , e somando as eliminamos o x .

D + 1 D 2 y + D + 1 - D y = D + 1 2 t - D - 1

D D + 1 D - 1 y = 2 + 2 t

Então, para a parte homogênea temos 3 raízes reais r 1 = 0 , r 2 = - 1 e r 3 = 1 :

y h t = c 1 + c 2 e t + c 3 e t

Para a parte homogênea, vamos assumir a solução com a seguinte forma:

y p t = A t 2 + B t + C

Substituindo na EDO e igualando os coeficientes, achamos os seguintes valores A = - 1 , B = - 2 e C = 0 . Portanto, a solução geral para y é:

y t = c 1 + c 2 e t + c 3 e t - t 2 - 2 t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos x .

D 2 - D x + D 2 y = 2 t

x ' ' - x ' = 2 t - ( c 1 + c 2 e t + c 3 e t - t 2 - 2 t ) ' '

x ' ' - x ' = 2 t - c 2 e - t - c 3 e t + 2

Então, aqui temos mais uma EDO de coeficiente indeterminados.

Para a parte homogênea, a raiz é encontrada com r 2 - r = 0 e as raízes são r 1 = 0 e r 2 = 1 . E a solução da parte homogênea fica:

x h t = d 1 + d 2 e t

Para a solução particular, assumimos uma solução com a forma:

x p t = a t 2 + b t + c + m e - t + n e t + k t e t

Aplicando na EDO e igualando os coeficientes, achamos os seguintes valores.

a = - 1 ,   b = - 4 , m = - c 2 2 , k = - c 3

E c e n são arbitrários. Sendo assim, a solução para x fica:

x t = d 1 + d 2 e t - t 2 - 4 t - c 2 2 e - t - c 3 t e t

Resposta

y t = c 1 + c 2 e t + c 3 e t - t 2 - 2 t

x t = d 1 + d 2 e t - t 2 - 4 t - c 2 2 e - t - c 3 t e t