Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

2 x ' + y ' - x - y = e - t

x ' + y ' + 2 x + y = e t

Elas podem ser reescritas como:

                      2 D - 1 x + D - 1 y = e - t                 ( 1 )

                      D + 2 x + D + 1 y = e t                 ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D + 1 ) e a equação (2) por ( D - 1 ) e subtraindo a (1) pela (2) eliminamos o y .

D + 1 2 D - 1 x - D - 1 D + 2 x = ( D + 1 ) e - t - ( D - 1 ) e t

2 D 2 + D - 1 x - D 2 + D - 2 x = 0

D 2 + 1 x = 0

A ultima equação é equivalente a:

x ' ' + x = 0

E sua solução se dá em raízes complexas.

r 2 = - 1

r = ± i

Portanto, a solução para x é:

x t = c 1 s e n   t + c 2 c o s   t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos y .

2 D - 1 x + D - 1 y = e - t

2 x ' - x + D - 1 y = e - t

Substituindo x .

2 c 1 s e n   t + c 2 c o s   t ' - c 1 s e n   t - c 2 c o s   t + D - 1 y = e - t

y ' - y = 2 c 2 - c 1 s e n t + c 2 - 2 c 1 cos ⁡ t + e - t

Temos uma EDO de coeficientes indeterminados, achando a solução da parte homogênea:

r - 1 = 0

r = 1

A solução da parte homogênea, então é:

y h t = d 1 e t

E para a solução particular, vamos assumir uma solução com a forma.

y p = A s e n   t + B c o s   t + C e - t

y ' p = A c o s   t - B s e n   t - C e - t

Substituindo na EDO.

( A c o s   t - B s e n   t - C e - t ) - A s e n   t + B c o s   t + C e - t = 2 c 2 - c 1 s e n t + c 2 - 2 c 1 cos ⁡ t + e - t

A - B cos ⁡ t + - B - A s e n   t - 2 C e - t = c 2 - 2 c 1 cos ⁡ t + 2 c 2 - c 1 s e n t + e - t

Juntando os coeficientes semelhantes.

A - B = c 2 - 2 c 1

- B - A = 2 c 2 - c 1

- 2 C = 1

Achando os valores dos coeficientes.

C = - 1 2

Somando as duas primeiras questões do sistema:

- 2 B = 3 c 2 - 3 c 1

B = 3 c 1 - c 2 2

Subtraindo a primeira equação pela segunda.

2 A = - c 2 - c 1

A = - c 2 + c 1 2

Por fim, aqui finalizamos essa questão!!! A solução de y é:

y t = d 1 e t - c 2 + c 1 2 s e n   t + 3 c 1 - c 2 2 cos ⁡ t - 1 2 e - t

Resposta

x t = c 1 s e n   t + c 2 c o s   t

y t = d 1 e t - c 2 + c 1 2 s e n   t + 3 c 1 - c 2 2 cos ⁡ t - 1 2 e - t