Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a .
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!
Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.
Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!
Passo 2
As equações que o enunciado nos deu são:
Elas podem ser reescritas como:
Multiplicando a equação (1) por e a equação (2) por e subtraindo a (1) pela (2) eliminamos o .
A ultima equação é equivalente a:
E sua solução se dá em raízes complexas.
Portanto, a solução para é:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos .
Substituindo .
Temos uma EDO de coeficientes indeterminados, achando a solução da parte homogênea:
A solução da parte homogênea, então é:
E para a solução particular, vamos assumir uma solução com a forma.
Substituindo na EDO.
Juntando os coeficientes semelhantes.
Achando os valores dos coeficientes.
Somando as duas primeiras questões do sistema:
Subtraindo a primeira equação pela segunda.
Por fim, aqui finalizamos essa questão!!! A solução de é: