Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

x ' + 2 y = 0

x ' - y ' = 0

E podem ser reescritas como:

                            D x + 2 y = 0               ( 1 )

                            D x - D y = 0               ( 2 )

Isolando D x na equação (1) e substituindo na (2).

- 2 y - D y = 0

Se supormos que a solução tem a seguinte forma: e r t .

2 e r t + D e r t = 0

e r t r + 2 = 0

Sendo assim, a raiz da equação é r = - 2 e a solução fica:

y t = d 1 e - 2 t

Achando x ( t ) com equação (1).

D x + 2 d 1 e - 2 t = 0

D x = - 2 d 1 e - 2 t

Passando a derivada para o outro lado como uma integral.

x = ∫ - 2 d 1 e - 2 t d t

x t = d 1 e - 2 t + c 1

Resposta

y t = d 1 e - 2 t

x t = d 1 e - 2 t + c 1