Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

d w d t = 5 w + 2 z + 5 t

d z d t = 3 w + 4 z + 17 t

E podem ser reescritas como:

                                    D - 5 w - 2 z = 5 t                   ( 1 )

                                        D - 4 z - 3 w = 17 t                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por 3 e a equação (2) por ( D - 5 ) , e somando as duas eliminamos o w :

D - 5 D - 4 z - 6 z = 15 t + D - 5 17 t

D 2 - 9 D + 14 z = 17 - 70 t

E a equação acima, é equivalente a:

z ' ' - 9 z ' + 14 z = 17 - 70 t

Para a parte homogênea da EDO.

r 2 - 9 r + 14 = 0

Usando Bhaskara, achamos as seguintes raízes:

r 1 = 7                     r 2 = 2

E a solução da parte homogênea fica:

z h t = c 1 e 7 t + c 2 e 2 t

Para a parte particular da EDO, assumimos uma solução com a forma:

z p t = A t + B

Substituindo na EDO, e igualando os coeficientes, temos os seguintes valores A = - 5 e B = - 2 . Então, a solução geral para y é:

z t = c 1 e 7 t + c 2 e 2 t - 5 t - 2

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrarmos w .

D - 4 z - 3 w = 17 t

w = 1 3 z ' - 4 3 z - 17 3 t

Substituindo o z .

w = 1 3 c 1 e 7 t + c 2 e 2 t - 5 t - 2 ' - 4 3 c 1 e 7 t + c 2 e 2 t - 5 t - 2 - 17 3 t

w t = - 2 3 c 2 e 2 t + c 1 e 7 t + t + 1

Resposta

z t = c 1 e 7 t + c 2 e 2 t - 5 t - 2

w t = - 2 3 c 2 e 2 t + c 1 e 7 t + t + 1