Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

                            D - 3 x + ( D - 1 ) y = t             ( 1 )

                      ( D + 1 ) x + D + 4 y = 1               ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D + 1 ) e a equação (2) por ( D - 3 ) e subtraindo a equação (1) pela (2) podemos eliminar o x .

D + 1 D - 1 y - D - 3 D + 4 y = D + 1 t - D - 3 1

- D + 11 y = t + 4

Essa última equação é equivalente a:

- y ' + 11 y = t + 4

E lembra que eu disse no passo 1?? Aqui temos uma EDO de coeficientes indeterminados.

Vamos achar a solução da parte homogênea.

- r + 11 = 0

r = 11

Sendo assim, temos duas raízes r 1 = 0 e r 2 = - 1 , e a solução tem a seguinte forma:

y h t = c 1 e r t

Ficando no exemplo:

y h t = c 1 e 11 t

Para a parte particular da EDO, vamos supor uma solução com a seguinte forma:

u p t = A t + B

Aplicando na EDO, encontramos os seguintes valores para A = 1 / 11 e B = 45 / 121 .

Então, a solução geral para y é:

y t = c 1 e 11 t + 1 11 t + 45 121

Passo 3

Agora, para encontrarmos a solução de x , vamos relembrar o sistema de equações inicial.

                            D - 3 x + ( D - 1 ) y = t             ( 1 )

                      ( D + 1 ) x + D + 4 y = 1               ( 2 )

Subtraindo a equação (2) pela equação (1), encontramos:

4 x + 5 y = 1 - t

4 x + 5 c 1 e 11 t + 1 11 t + 45 121 = 1 - t

x ( t ) = - 5 4 c 1 e 11 t - 4 11 t - 26 121

Resposta

y t = c 1 e 11 t + 1 11 t + 45 121

x ( t ) = - 5 4 c 1 e 11 t - 4 11 t - 26 121