Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

x ' + y ' + 2 x = 0

x ' + y ' - x - y = s e n   t

As equações podem ser reescritas como:

                                    D + 2 x + D y = 0                       ( 1 )

                              D - 1 x + D - 1 y = s e n   t                       ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D - 1 ) e a equação (2) por - D e somando as duas equações eliminamos o y .

D - 1 D + 2 x + - D D - 1 x = - D s e n   t

2 D - 2 x = - cos ⁡ t

Essa última equação é equivalente a:

2 x ' - 2 x = - cos ⁡ t

E lembra que eu disse no passo 1?? Aqui temos uma EDO de coeficientes indeterminados.

Vamos achar a solução da parte homogênea.

2 r - 2 = 0

r = 1

Sendo assim, temos duas raízes r 1 = 0 e r 2 = - 1 , e a solução tem a seguinte forma:

x h t = c 1 e r t

Ficando no exemplo:

x h t = c 1 e t

Para a parte particular da EDO, vamos supor uma solução com a seguinte forma:

x p t = A c o s   t + B s e n   t

Aplicando na EDO, encontramos os seguintes valores para A = 1 / 4 e B = - 1 / 4 .

Então, a solução geral para x é:

x t = c 1 e t + 1 4 cos ⁡ t - 1 4 s e n   t

Passo 3

Agora, para encontrarmos a solução de y , vamos relembrar o sistema de equações inicial.

                                    D + 2 x + D y = 0                       ( 1 )

                              D - 1 x + D - 1 y = s e n   t                       ( 2 )

Subtraindo a equação (1) pela equação (2), encontramos:

3 x + y = - s e n   t

3 c 1 e t + 1 4 cos ⁡ t - 1 4 s e n   t + y = - s e n   t

y t = - 3 c 1 e t - 3 4 cos ⁡ t - 1 4 s e n   t

Resposta

x t = c 1 e t + 1 4 cos ⁡ t - 1 4 s e n   t

y t = - 3 c 1 e t - 3 4 cos ⁡ t - 1 4 s e n   t