Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

                                  D 2 - 1 u + 5 v = e t                   ( 1 )

                                  2 u + D 2 + 2 v = 0                   ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D 2 + 2 ) e a equação (2) por - 5 e somando as duas.

D 2 + 2 D 2 - 1 u - 10 u = D 2 + 2 e t

D 4 + D 2 - 12 u = 3 e t

Fatorando.

D 2 + 4 D 2 - 3 u = 3 e t

A ultima equação é equivalente a:

( u ' ' + 4 u ) ( u ' ' - 3 u ) = 3 e t

E a solução da parte homogênea se encontra pelas raízes

r 2 + 4 = 0

r = ± 2 i

Para a segunda parte da homogênea temos.

r 2 - 3 = 0

r = ± 3

Portanto, a solução para a parte homogênea de u é:

u h t = c 1 s e n   2 t + c 2 c o s   2 t + c 3 e 3 t + c 4 e - 3 t

Para encontrarmos a solução particular de u , vamos assumir que a solução tem a forma:

u p t = A e t

Substituindo na EDO que encontramos para u , achamos o valor de A = - 3 / 10 .

E a solução geral de u é:

u t = c 1 s e n   2 t + c 2 c o s   2 t + c 3 e 3 t + c 4 e - 3 t - 3 10 e t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos v .

D 2 - 1 u + 5 v = e t

v = 1 5 1 - D 2 u + e t 5

Encontrando u ' ' para substituirmos na equação acima:

u t = c 1 s e n   2 t + c 2 c o s   2 t + c 3 e 3 t + c 4 e - 3 t - 3 10 e t

u ' t = 2 c 1 c o s   2 t - 2 c 2 s e n   2 t + 3   c 3 e 3 t - 3   c 4 e - 3 t - 3 10 e t

u ' ' t = - 4 c 1 s e n   2 t - 4 c 2 c o s   2 t + 3   c 3 e 3 t + 3   c 4 e - 3 t - 3 10 e t

Substituindo na equação de v , encontramos:

v t = c 1 s e n   2 t + c 2 cos ⁡ 2 t - 2 5 c 3 e 3 t - 2 5 c 4 e - 3 t + e t 5

Resposta

u t = c 1 s e n   2 t + c 2 c o s   2 t + c 3 e 3 t + c 4 e - 3 t - 3 10 e t

v t = c 1 s e n   2 t + c 2 cos ⁡ 2 t - 2 5 c 3 e 3 t - 2 5 c 4 e - 3 t + e t 5