Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a .
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!
Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.
Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!
Passo 2
As equações que o enunciado nos deu são:
Multiplicando a equação (1) por e a equação (2) por e somando as duas.
Fatorando.
A ultima equação é equivalente a:
E a solução da parte homogênea se encontra pelas raízes
Para a segunda parte da homogênea temos.
Portanto, a solução para a parte homogênea de é:
Para encontrarmos a solução particular de , vamos assumir que a solução tem a forma:
Substituindo na EDO que encontramos para , achamos o valor de .
E a solução geral de é:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos .
Encontrando para substituirmos na equação acima:
Substituindo na equação de , encontramos: