Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações que o enunciado nos deu são:

d x d t + x + d y d t = e 4 t

2 x + d 2 y d t 2 = 0

E podem ser reescritas como:

                                    D + 1 x + D y = e 4 t                   ( 1 )

                                        2 x + D 2 y = 0                         ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por D e subtraindo pela equação (2) eliminamos o y .

D D + 1 x - 2 x = D e 4 t

D 2 + D - 2 x = 4 e 4 t

E a equação acima, é equivalente a:

x ' ' + x ' - 2 = 4 e 4 t

Para a parte homogênea da EDO.

r 2 + r - 2 = 0

Usando Bhaskara, achamos as seguintes raízes:

r 1 = 1                     r 2 = - 2

E a solução da parte homogênea fica:

x h t = c 1 e t + c 2 e - 2 t

Para a parte particular da EDO, assumimos uma solução com a forma:

z p t = A e 4 t

Substituindo na EDO, e igualando os coeficientes, temos o seguinte valor A = 2 / 9 . Então, a solução geral para y é:

x t = c 1 e t + c 2 e - 2 t + 2 9 e 4 t

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (1) para encontrarmos y .

D + 1 x + D y = e 4 t

d y d t = e 4 t - x ' - x

Substituindo o x .

d y d t = e 4 t - c 1 e t + c 2 e - 2 t + 2 9 e 4 t ' - c 1 e t + c 2 e - 2 t + 2 9 e 4 t

d y d t = c 1 e - 2 t - 2 c 2 e t - 1 9 e 4 t

Passando a derivada para o outro lado como uma integral.

y = ∫ c 1 e - 2 t - 2 c 2 e t - 1 9 e 4 t d t

y ( t ) = - 1 2 c 1 e - 2 t - 2 c 2 e t - 1 36 e 4 t + d 1

Resposta

x t = c 1 e t + c 2 e - 2 t + 2 9 e 4 t

y = - 1 2 c 1 e - 2 t - 2 c 2 e t - 1 36 e 4 t + d 1