Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a t .

Passo 1

Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!

Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.

Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!

Passo 2

As equações do enunciado são:

x ' = 3 x - 2 y + s e n   t

y ' = 4 x - y - cos ⁡ t

E podem ser reescritas como:

                            D - 3 x + 2 y = s e n   t             ( 1 )

                        - 4 x + D + 1 y = - cos ⁡ t               ( 2 )

Multiplicando a equação (1) por ( D + 1 ) e a equação (2) por - 2 .

( D + 1 ) D - 3 x + ( D + 1 ) 2 y = ( D + 1 ) s e n   t             ( 3 )

8 x - 2 D + 1 y = 2 cos ⁡ t               ( 4 )

Somando a equação (3) e (4) encontramos.

D 2 - 2 D - 3 x + 8 x = D + 1 s e n   t + 2 cos ⁡ t

D 2 - 2 D + 5 x = 3 cos ⁡ t + s e n   t

Essa última equação é equivalente a:

x ' ' - 2 x ' + 5 x = 3 cos ⁡ t + s e n   t

E lembra que eu disse no passo 1?? Aqui temos uma EDO de coeficientes indeterminados.

Vamos achar a solução da parte homogênea.

r 2 - 2 r + 5 = 0

Resolvendo por Bhaskara, encontramos r = 1 ± 2 i e a solução da parte homogênea fica:

x h t = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n   2 t

Para a parte particular da EDO, vamos supor uma solução com a seguinte forma:

x p t = A c o s   t + B s e n   t

Aplicando na EDO, encontramos os seguintes valores para A = 7 / 10 e B = - 1 / 10 .

Então, a solução geral para x é:

x t = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n   2 t + 7 10 cos ⁡ t - 1 10 s e n   t

Passo 3

Agora, para encontrarmos y ( t ) vamos usar a fórmula (1), que pode ser reescrita como:

2 y = 3 - D x + s e n   t

Antes de substituirmos x na equação, vamos encontrar quem é D x

D x = D c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n   2 t + 7 10 cos ⁡ t - 1 10 s e n   t

D x = c 1 e t cos ⁡ 2 t - 2 c 1 e t s e n   2 t + c 2 e t s e n   2 t + 2 c 2 e t cos ⁡ 2 t - 7 10 s e n   t - 1 10 cos ⁡ t

D x = c 1 + 2 c 2 e t cos ⁡ 2 t + c 2 - 2 c 1 e t   s e n   2 t - 7 10 s e n   t - 1 10 cos ⁡ t

Substituindo na equação que manipulamos da fórmula (1) e organizando, encontramos.

y t = c 1 - c 2 e t cos ⁡ 2 t + c 1 + c 2 e t s e n   t + 11 10 cos ⁡ t + 7 10 s e n   t

Resposta

x t = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n   2 t + 7 10 cos ⁡ t - 1 10 s e n   t

y t = c 1 - c 2 e t cos ⁡ 2 t + c 1 + c 2 e t s e n   t + 11 10 cos ⁡ t + 7 10 s e n   t