Nos problemas 3-18, use o método da eliminação para achar uma solução geral para o sistema linear dado, onde a derivação é com relação a .
Passo 1
Faaalaa, como vai?? Espero que esteja bem!!
Nesta questão, temos um sistema de equações diferenciais e para resolvê-lo vamos manipular as duas equações, até conseguirmos eliminar uma das funções incógnitas com a soma ou subtração das equações.
Fazendo essa eliminação, vamos encontrar uma EDO. Achando a solução de uma das funções incógnitas, encontraremos a outra solução por substituição em uma das equações iniciais. Vamos lá!!
Passo 2
As equações do enunciado são:
E podem ser reescritas como:
Multiplicando a equação (1) por e a equação (2) por .
Somando a equação (3) e (4) encontramos.
Essa última equação é equivalente a:
E lembra que eu disse no passo 1?? Aqui temos uma EDO de coeficientes indeterminados.
Vamos achar a solução da parte homogênea.
Resolvendo por Bhaskara, encontramos e a solução da parte homogênea fica:
Para a parte particular da EDO, vamos supor uma solução com a seguinte forma:
Aplicando na EDO, encontramos os seguintes valores para e .
Então, a solução geral para é:
Passo 3
Agora, para encontrarmos vamos usar a fórmula (1), que pode ser reescrita como:
Antes de substituirmos na equação, vamos encontrar quem é
Substituindo na equação que manipulamos da fórmula (1) e organizando, encontramos.