Responde Aí

Enunciado

Nos problemas 37 e 38, resolva o problema do valor inicial dado:

Problemas 38:

d 2 x d t 2 + 9 x = 5 s e n ( 3 t )

Para: x 0 = 2 ;     x ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Sabemos que uma equação diferencial linear, não homogênea de coeficientes constantes e de segunda ordem, admite como solução geral é a soma da solução transiente x h com a solução estacionário x p . Sendo, portanto x t = x p + x h

Passo 2

Para x h t :

x ' ' + 9 x = 0

Façamos x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

Logo:

e λ t λ 2 + 9 = 0

λ = ± i 3

Logo x h t   é :

x h t = c 1 e + i 3 t + c 2 e - i 3 t

x h t = c 1 cos ⁡ 3 t + i s e n 3 t + c 2 cos ⁡ 3 t - i s e n 3 t

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ 3 t + i c 1 - c 2 s e n 3 t

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ 3 t + b s e n 3 t                     ( 0.7 )

Tomando os valores iniciais dados:

x 0 = 2 = a

x ' 0 = 0 = 3 b

Tomando a = 2   e   b = 0

x h t = 2 c o s ⁡ ( 3 t )

Passo 3

Para x p :

x ' ' + 9 x = 5   s e n ( 3 t )

Peguemos uma função de modo:

x p = m   t   s e n ( 3 t ) + n   t   c o s 3 t

De modo que:

x p ' ' = cos ⁡ 3 t 6 m - 3 n t + s e n ( 3 t ) ( - 6 m   t )

Fazendo:

- 6 m   t   s e n 3 t = 5   s e n 3 t

Vemos então que:

m = - 5 6   t  

Assim:

x p t = - 5 6   t   c o s ⁡ ( 3 t )

Resposta

Assim, como dito anteriormente que a solução mais geral dessa EDO, assim x t = x h t + x p t ,   ficando:

x t = 2 cos ⁡ 3 t - 5 6   t   c o s ⁡ ( 3 t )