Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial?

Passo 1

Neste capítulo do livro, estamos sendo desafiados a resolver equações separáveis. Aí você me pergunta, o que isso quer dizer??

E eu respondo, quer dizer que podemos juntar uma função que depende somente de t com d t e uma função que só depende de y com d y . Depois que fizermos isso, basta integrarmos e acharemos a solução para a equação.

Passo 2

Para este exemplo, a nossa equação é:

d y d t = 3 + 5 y

Agora, precisamos colocar na forma de uma equação separável.

1 3 + 5 y d y = d t

Como explicado acima, agora nos resta integrar os dois lados.

∫ 1 3 + 5 y d y = ∫ d t

Usando substituição:

u = 3 + 5 y

d y = 1 5 d u

Substituindo.

1 5 ∫ 1 u d u = t + c

1 5 ln ⁡ u = t + c

1 5 ln ⁡ 3 + 5 y = t + c

ln ⁡ 3 + 5 y = 5 t + 5 c

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b

e ln ⁡ 3 + 5 y = e 5 t + 5 c

3 + 5 y = e 5 t e 5 c

y = e 5 t e 5 c 5 - 3 5

Podemos trocar e 5 c 5 = k , os dois representam uma constante

y = k e 5 t - 3 5

Resposta

y = k e 5 t - 3 5