Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial?

Passo 1

Neste capítulo do livro, estamos sendo desafiados a resolver equações separáveis. Aí você me pergunta, o que isso quer dizer??

E eu respondo, quer dizer que podemos juntar uma função que depende somente de y com d y e uma função que só depende de x com d x . Depois que fizermos isso, basta integrarmos e acharemos a solução para a equação.

Passo 2

Para este exemplo, a nossa equação é:

y ' = y x 2

Nessa questão em específico, devemos lembrar da seguinte relação:

y ' = d y d x

Substituindo na equação do enunciado:

d y d x = y x 2

Agora, precisamos colocar na forma de uma equação separável.

1 y d y = 1 x 2 d x

Como explicado acima, agora nos resta integrar os dois lados.

∫ 1 y d y = ∫ 1 x 2 d x

ln ⁡ y = - 1 x + c

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b

e ln ⁡ y = e - 1 x + c

y = e - 1 x e c

Trocando e c = k , os dois termos são constantes.

y = k e - 1 / x

Resposta

y = k e - 1 / x