Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial?

Passo 1

Neste capítulo do livro, estamos sendo desafiados a resolver equações separáveis. Aí você me pergunta, o que isso quer dizer??

E eu respondo, quer dizer que podemos juntar uma função que depende somente de y com d y e uma função que só depende de x com d x . Depois que fizermos isso, basta integrarmos e acharemos a solução para a equação.

Passo 2

Para este exemplo, a nossa equação é:

d x - 1 y 2 - 6 y + 13 d y = 0

Já temos d x multiplicado por uma função que depende só de x e d y mesma coisa. Então, é só integrarmos dos dois lados.

∫ 1 y 2 - 6 y + 13 d y = ∫ d x

∫ 1 y - 3 2 + 4 d y = x + c

Vamos usar duas substituições até chegar na resolução da integral.

Primeira substituição:

u = y - 3

d u = d y

Substituindo.

∫ 1 u 2 + 4 d u = x + c

Segunda substituição:

u = 2 v

d u = 2 d v

Substituindo:

∫ 1 2 v 2 + 4 2 d v = x + c

1 2 ∫ 1 v 2 + 1 d v = x + c

Agora, usamos uma regra de integração ∫ 1 v 2 + 1 d v = arctan ⁡ ( v )

1 2 arctan ⁡ v = x + c

1 2 arctan ⁡ u 2 = x + c

1 2 arctan ⁡ y - 3 2 = x + c

y - 3 2 = tan ⁡ ( 2 x + 2 c )

Podemos trocar 2 c = k , os dois representam uma constante.

y = 2 tan ⁡ 2 x + k + 3

Resposta

y = 2 tan ⁡ 2 x + k + 3