Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial?

Passo 1

Neste capítulo do livro, estamos sendo desafiados a resolver equações separáveis. Aí você me pergunta, o que isso quer dizer??

E eu respondo, quer dizer que podemos juntar uma função que depende somente de x com d x e uma função que só depende de y com d y . Depois que fizermos isso, basta integrarmos e acharemos a solução para a equação.

Passo 2

Para este exemplo, a nossa equação é:

                                              ( x 2 + 1 ) d x + 1 y d y = 0                 y - 1 = 1

Neste exemplo, temos um problema de valor inicial, mas é moleza, vem comigo!!

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial, depois aplicamos o valor inicial.

( x 2 + 1 ) d x + 1 y d y = 0

∫ 1 y d y = - ∫ ( x 2 + 1 ) d x

ln ⁡ y = - x 3 3 - x + c

Usando propriedades logarítmicas: e b l n ( k ) = k b

e ln ⁡ y = e - x 3 3 - x + c

y = e - x 3 3 - x + c

Aplicando o valor inicial y - 1 = 1 .

1 = e 1 3 + 1 + c

Vamos usar mais uma propriedade, dessa vez, dos expoentes: ln ⁡ ( e k ) = k

ln ⁡ 1 = ln ⁡ e 1 3 + 1 + c ⁡

0 = 1 3 + 1 + c

c = - 4 3

Portanto, achamos a nossa solução com a restrição inicial:

y = e - x 3 3 - x - 4 3

y = e - 1 / 3 ( x 3 + 3 x + 4 )

Resposta

y = e - 1 / 3 ( x 3 + x + 4 )