Enunciado

Nos problemas 43-48, cada figura representa o gráfico da solução particular de uma dentre as equações diferenciais:

  1. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0
  2. y ' ' + 4 y = 0
  3. y ' ' + 2 y ' + y = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0
  6. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Vamos achar o gráfico da solução particular do item a)

Temos então:

y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0

Façamos 3 = β ;   4 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' - k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ - k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 + k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 + k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 + k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 + k 2 que β = 3 ;     k 2 = 4

Logo: λ =   β 2 ± β 2 2 + k 2 = 3 2 ± 3 2 2 + 4 vemos que:

λ = = 3 2 ± 5 2

De modo que λ + = 4 ;     λ - = - 1

Assim:

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - x

O gráfico da solução acima é desse tipo:

Que se assemelha ao gráfico da figura 4.3.3 do problema 44

Resposta

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - x

Que tem como gráfico a solução do problema 44.

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