Enunciado

Nos problemas 43-48, cada figura representa o gráfico da solução particular de uma dentre as equações diferenciais:

  1. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0
  2. y ' ' + 4 y = 0
  3. y ' ' + 2 y ' + y = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0
  6. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Vamos achar o gráfico da solução particular do item f)

Temos que:

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Façamos 3 = β ;   2 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ =   β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - =   β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de   β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 3 ;     k 2 = 2

Logo: λ = 3 2 ± 3 2 2 - 2 → 3 2 ± 1 2

Logo temos que λ + = 2 ;     λ - = 1

Logo:

y x = c 1 e 2 x + c 2 e x

Que tem um gráfico que se comporta da seguinte maneira:

Que se assemelha muito ao gráfico da figura 4.3.2 do problema 43

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 e x

Gráfico do problema 43.

Extra: esta é a típica solução que descreve uma massa sob um regime de amortecimento supercrítico. (se caso a EDO fosse do tipo y ' ' + β y ' + ω 0 2 y = 0 , mas no geral implica-se a mesma técnica)

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