Enunciado

Nos problemas 43-48, cada figura representa o gráfico da solução particular de uma dentre as equações diferenciais:

  1. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0
  2. y ' ' + 4 y = 0
  3. y ' ' + 2 y ' + y = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0
  6. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Vamos achar o gráfico da solução particular do item d)

Temos:

y ' ' + 1 y = 0

Façamos 1 = k 2

y ' ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + k 2 = 0

λ = ± i k

Logo (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e ( i k ) x + c 2 e ( - i k ) x

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

y x = c 1 cos ⁡ k x + i   s e n k x + c 2 cos ⁡ k x - i   s e n k x

y x = c 1 + c 2 cos ⁡ k x + i c 1 - c 2 s e n k x  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

y x = a cos ⁡ k x + b   s e n k x

Relembrando k 2 = 1 → k = 1 = 1

y x = a cos ⁡ x + b   s e n x

Que tem um gráfico que se comporta da seguinte maneira:

Que se assemelha muito ao gráfico da figura 4.3.6 do problema 47

Resposta

y x = a cos ⁡ x + b   s e n x

Gráfico do problema 47.

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