Responde Aí

Enunciado

Nos problemas 43-48, cada figura representa o gráfico da solução particular de uma dentre as equações diferenciais:

  1. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0
  2. y ' ' + 4 y = 0
  3. y ' ' + 2 y ' + y = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0
  6. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Vamos achar o gráfico da solução particular do item c)

Temos:

y ' ' + 2 y ' + 1 y = 0

Façamos 2 = β ;   1 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' + β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + k 2 = 0

λ = -   β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = -   β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = -   β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de -   β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 2 ;     k 2 = 1

De modo que λ = - 1 ± 0

E vemos que λ + = λ - = - 1

Assim:

y x = c 1 e - x + c 2 e - x

y x = e - x c 1 + c 2

Encontramos um problema, pois c 1 e λ + x + c 2 e λ - x devem consistir de duas partes que são linear mente independentes, assim adicionamos uma variável, ficando:

y x = e - x c 1 + c 2 x

Que tem um gráfico que se comporta da seguinte maneira:

Que se assemelha muito ao gráfico da figura 4.3.5 do problema 46.

Resposta

y x = e - x c 1 + c 2 x

Gráfico do problema 46

Extra: este é o tipo de solução de um sistema criticamente amortecido