Enunciado

Nos problemas 43-48, cada figura representa o gráfico da solução particular de uma dentre as equações diferenciais:

  1. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0
  2. y ' ' + 4 y = 0
  3. y ' ' + 2 y ' + y = 0
  4. y ' ' + y = 0
  5. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0
  6. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Vamos achar o gráfico da solução particular do item e)

Temos que:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Façamos 2 = β ;   2 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' + β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + k 2 = 0

λ = -   β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = - β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = -   β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de -   β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 2 ;     k 2 = 2

Logo λ = - 1 ± 2 2 2 - 2

Vemos que:

2 2 2 - 2 < 0

Logo λ ∈ C

Assim:

λ = -   1 ± i 2 - 1

λ = -   1 ± i

De modo que:

y x = c 1 e x - 1 + i + c 2 e x - 1 - i

y x = e - x c 1 e i x + c 2 e - i x

Para c 1 e i x + c 2 e - i x   usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

c 1 cos ⁡ x + i   s e n x + c 2 cos ⁡ x - i   s e n x

c 1 + c 2 cos ⁡ x + i c 1 - c 2   s e n x

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

a cos ⁡ x + b   s e n x

Portanto:

y x = e - x a cos ⁡ x + b   s e n x

Que tem um gráfico que se comporta da seguinte maneira:

Que se assemelha muito ao gráfico da figura 4.3.4 do problema 45

Resposta

y x = e - x a cos ⁡ x + b   s e n x

Gráfico do problema 45

Extra: esta é a típica função que descreve o movimento de uma massa sob regime de amortecimento subcrítico.

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