Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M t ,   y d t + N t ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N t . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M t ,   y ∂ y = ∂ N t ,   y ∂ t

Por fim, depois de verificarmos, temos duas fórmulas para a solução:

g t ,   y = ∫ M t ,   y d t + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( t ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

y 2 d t + t 2 d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M t ,   y ∂ y = ∂ N t ,   y ∂ t

∂ y 2 ∂ y = ∂ N t 2 ∂ x

2 y = 2 t

A igualdade não se verifica. A equação não é exata.

Resposta

EDO não é exata.