Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N x . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

Por fim, depois de verificarmos, temos uma fórmula para a solução:

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( x ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

y + 2 x y 3 d x + 1 + 3 x 2 y 2 + x d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

∂ ( y + 2 x y 3 ) ∂ y = ∂ N 1 + 3 x 2 y 2 + x ∂ x

1 + 6 x y 2 = 6 x y 2 + 1

Como as derivadas são iguais, podemos afirmar que a equação é exata.

Passo 3

Usando a fórmula que definimos no passo 1.

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

g x ,   y = ∫ ( y + 2 x y 3 ) d x + n ( y )

g x ,   y = x y + x 2 y 3 + c + n ( y )

O único termo de N ( x ,   y ) que depende apenas de y é o 1 , então:

g x ,   y = x y + x 2 y 3 + c + ∫ ( 1 ) d y

g x ,   y = x y + x 2 y 3 + y + c 1

O termo g ( x ,   y ) é considerado uma constante e a nossa solução fica.

c 2 = x y + x 2 y 3 + y

Resposta

c 2 = x y + x 2 y 3 + y