Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N x . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

Por fim, depois de verificarmos, temos uma fórmula para a solução:

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( x ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

e x 3 3 x 2 y - x 2 d x + e x 3 d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

∂ e x 3 3 x 2 y - x 2 ∂ y = ∂ N e x 3 ∂ x

3 x 2 e x 3 = 3 x 2 e x 3

A igualdade é verdadeira. Portanto, a equação é exata.

Passo 3

Agora, para encontramos a solução, usaremos a fórmula do passo 1.

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

g x ,   y = ∫ e x 3 ( 3 x 2 y - x 2 ) d x + n ( y )

g x ,   y = y e x 3 - 1 3 e x 3 + c + n ( y )

Nenhum termo depende apenas de y em N ( x ,   y ) e uma integral de 0 é constante, sendo assim:

g x ,   y = y e x 3 - 1 3 e x 3 + c 1

g ( x , y ) é considerado uma constante.

c 2 = y e x 3 - 1 3 e x 3

y = c 2 e - x 3 + 1 3

Resposta

y = c 2 e - x 3 + 1 3