Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N x . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

Por fim, depois de verificarmos, temos uma fórmula para a solução:

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( x ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

3 x 2 y 2 d x + ( 2 x 3 y + 4 y 3 ) d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

∂ 3 x 2 y 2 ∂ y = ∂ N 2 x 3 y + 4 y 3 ∂ x

6 x 2 y = 6 x 2 y

A igualdade é verdadeira. Equação exata.

Passo 3

Agora, para encontramos a solução, usaremos a fórmula do passo 1.

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

g x ,   y = ∫ 3 x 2 y 2 d x + n ( y )

g x ,   y = x 3 y 2 + c + n ( y )

O único termo de N ( x , y ) que depende apenas de y é 4 y 3 , sendo assim:

g x ,   y = x y + c + ∫ 4 y 3 d y

g x ,   y = x y + y 4 + c 1

g ( x , y ) é considerado uma constante.

x y + y 4 = c 2

Resposta

x y + y 4 = c 2